Montrer l'homogénéité d'une relation

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Montrer l'homogénéité d'une relation

Messagepar William TaleS le Sam 26 Oct 2019 17:02

Bonjour,
Je dois monter (dans le dernier exercice de mon DM) qu'une relation est homogène. Voici l'énoncé :
Isaac Newton établit au XVIIe siècle l'expression de la célérité des sons dans l'air :
\(v=\sqrt{\dfrac{P}{\mu}}\) avec \(P\) la pression de l'air en pascals (Pa) et \(\mu\) la masse volumique de l'air.
Données :
* La pression \(P\) est donnée par \(P=\dfrac{F}{S}\) avec \(P\) la pression en pascals, \(F\) la force pressante en N et \(S\) la surface.
* Dimension d'une force : \([F]=M.L.T^{-2}\).

J'ai compris que l'objectif était de montrer que \(\sqrt{\dfrac{P}{\mu}}\) s'exprime bien en \(m.s^{-1}\) mais comment faire ?
Merci par avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
William TaleS
 

Re: Montrer l'homogénéité d'une relation

Messagepar SoS(3) le Sam 26 Oct 2019 17:56

Bonjour
il faut plutôt montrer que [\(\sqrt{\dfrac{P}{\mu}}\)] = L/T puisque [v] =L/T.

Le fait d'écrire entre [] signifie que l'on recherche la dimension .

toutes les grandeurs doivent être remplacées en fonction de M, L et T.
[S] = ?
[\(\mu\)] = ?
un petit conseil : la racine carrée correspond à la puissance 1/2.
J 'attends vos réponses.
SoS(3)
 
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Re: Montrer l'homogénéité d'une relation

Messagepar William TaleS le Sam 26 Oct 2019 18:12

Merci pour votre réponse !
Je ne comprends pas ce que signifient les lettres M, L, T et S.
William TaleS
 

Re: Montrer l'homogénéité d'une relation

Messagepar SoS(3) le Sam 26 Oct 2019 18:58

M, L et T sont 3 dimensions fondamentales.
M pour masse, L pour longueur et T pour temps ?
S est une surface ; par exemple , on [S] (dimension de S) = L² ;
Comprenez vous mieux ?
SoS(3)
 
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Re: Montrer l'homogénéité d'une relation

Messagepar William TaleS le Sam 26 Oct 2019 19:21

D'accord, merci pour vos explications !
Oui je comprends mieux les significations de ces lettres.
Voici ce que j'ai trouvé :
* \([P]=M.L.T^{-2}.L^{-2}=M.L^{-1}.T^{-2}\)
* \([\mu]=M.[V]^{-1}=M.L^{-3}\)

\(\dfrac{[P]}{[\mu]}=\dfrac{M.L^{-1}.T^{-2}}{M.L^{-3}}=T^{-2}.L^{-1}.L^3=T^{-2}.L^2\)

\([v]=\sqrt{\dfrac{[P]}{[\mu]}}=\sqrt{\dfrac{L^2}{T^2}}=\dfrac{\sqrt{L^2}}{\sqrt{T^2}}=\dfrac{L}{T}=L.T^{-1}\)

CQFD !
William TaleS
 

Re: Montrer l'homogénéité d'une relation

Messagepar SoS(3) le Sam 26 Oct 2019 23:30

Bravo ! C'est très bien.
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