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Convexité d'une fonction

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Convexité d'une fonction

Messagepar Maeva le Sam 9 Nov 2019 19:40

Bonjour,

Dans un devoir, il m'a été posé l'exercice suivant :

On considère que la fonction f(x)=x^3+6x^2+9x+1 sa courbe se nomme Cf, dans un repère orthonormé.

1. Résoudre l'équation 3x^2+12x+9=0
on cherche ainsi le discriminant :
Delta = B^2-4ac = 12^2-4X3X9 = 36
on a donc 2 solutions
x1 = (-12-6)/6 = -3
x2 = (-12+6)/6 = -1
Cette équation est égale à 0 pour x=-1 ou -3


2. Quelle est la nature de f ? Sur quel intervalle est-elle dérivable ?
F est une fonction de degré 3 et est donc dérivable sur -infini +infini

3. Calculer la dérivé de f.
f'(x) = 3x^2+12x+9

4. Dresser le tableau de variations de f.
x : -infini / -3 / -1 / +infini
f'(x) : + / - / +
f(x) : monte / descend / monte
PS : je ne suis cependant pas sûre de ce résultat car il n'a pas été dans ma correction.


5.
a. Calculer la dérivée seconde de f
f''(x) = 6x+12
b. Résoudre l'inéquation f''(x) supérieur ou égal à 0
6x+12»0
6x»-12
x»-12/6
x»-2

c. Etudier la convexité de f
Si l'on se base sur les résultat du tableau précédent, f est concave de moins l'infini à environ -2 avant d'être convexe jusqu'à plus l'infini.
Seulement je ne suis pas sûre d'un tel résultat car il ne coïncide pas avec le résultat de la correction donnée.


6.
a. Préciser par un calcule f(-2) et f(-2).
f(-2) = -2^3+6X-2^2+9X-2+1 = -1
f'(-2) = 3X-2^2+12X-2+9 = -3

b. Établir l'équation de la tangente T-2 à Cf au point d'abscisse -2
y = f'(a) (x-a) + f(a)
= f'(-2)(x+2)+f(-2)
= -3(x+2)-1
= -3x-6-1
=-3x-7


7. On note d(x) = f(x) - (-3x-7)
a. Montrer que d(x) = (x+2)(x^2+4x+4). Compléter la factorisation de d(x)
d(x) = f(x) - (-3x-7) = x^3+6x^2+9x+1 + 3x+7 = x^3+6x^2+12x+8
d(x) = (x+2)(x^2+4x+4) = x^3+4x^2+4x+2x^2+8x+8 = x^3+6x^2+12x+8
Ces deux équations sont donc égale.
Par la suite, si on prend d(x) = (x+2)(x^2+4x+4) on peut remarquer une identité remarquable dans la deuxième parenthèse. On obtient alors :
d(x) = (x+2)(x+2)^2 = (X+2)^3

b. Etudier par un tableau le signe de d(x) suivant les valeurs de x
x+2 = 0 si x=-2
x : -infini / -2 / +infini
f'(x) : - / +
f(x) : descend / monte
Seulement ce tableau manque la aussi à ma correction et je ne suis donc pas sûre de ce validité

c.A l'aide du tableau, préciser la position de Cf par rapport à T-2. Que peut-on en déduire de la nature de Cf d'abscisse -2 ?
Par logique, j'en déduis que ce point précis est le point d’inflexion de la courbe, soit l'endroit où elle passe de concave à convexe. Cependant, je ne sais pas comment le prouver en me basant sur ce tableau. Le doute vient aussi du fait que je trouve d(x) croissante puis décroissante alors qu'une fonction carré est toujours croissante.


Merci de votre temps et de votre aide.
Maeva
 

Re: Convexité d'une fonction

Messagepar SoS-Math(34) le Sam 9 Nov 2019 22:24

Bonsoir Maeva,

Tout d'abord, ton travail est de qualité (utilise plutôt "croissante" que "monte" toutefois...)
Pour la dernière question, le signe de f(x) - d(x) permet de connaître la position de Cf par rapport à sa tangente (d) au point d'abscisse 2.
Ton tableau indique que f(x) - d(x) est négatif sur ]-inf;-2[ donc f(x) - d(x) < 0 sur cet intervalle et ainsi f(x) < d(x).
Cf est donc en-dessOUS de (d) sur cet intervalle.
par le même raisonnement, Cf est au dessUS de (d) sur ]-2;+inf[.
Par conséquent, (d) traverse Cf au point d'abscisse 2 ce qui caractérise le point d'inflexion que tu as mis en évidence grâce au signe de f''(x). (d'ailleurs, tu peux enlever "environ" dans la conclusion de cette question).

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
Sosmaths
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Re: Convexité d'une fonction

Messagepar Maeva le Dim 10 Nov 2019 10:26

Bonjour,

Je comprends le raisonnement mis en avant sur la dernière question mais je n'arrive cependant pas à le visualiser si je dessines les deux fonctions sur ma calculatrice. Je vois l'inverse de ce que vous me décrivez : une courbe Cf au dessus de d(x) sur ]-inf;-2[ et dessus sur ]-2;+inf[.
Est-ce parce que je lis mal mes graphiques ou est-ce que cela n'a rien à voir ?

De plus, il y a un point où je suis en désaccord avec la correction et je ne comprends pas pourquoi. Si l'on reprend la question 5.c. J'ai répondu cela

c. Etudier la convexité de f
Si l'on se base sur les résultat du tableau précédent, f est concave de moins l'infini à (environ) -2 avant d'être convexe jusqu'à plus l'infini.
Seulement je ne suis pas sûre d'un tel résultat car il ne coïncide pas avec le résultat de la correction donnée.


En effet, mon corrigé indique que f(x) est concave sur ]-inf;0[ car sa dérivée seconde est négative. Et qu'à l'inverse, elle est convexe ]0;+inf[ car la dérivée seconde est positive.
Je ne comprends pas d'où viennent ces intervalles car, on remarque que c'est -2 le point d’inflexion.

Merci de votre aide.
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Re: Convexité d'une fonction

Messagepar Maeva le Lun 11 Nov 2019 10:19

Bonjour,

Merci pour votre aide.

Je comprends tout a fait votre raisonnement seulement, lorsque je regarde les courbes tracées sur ma calculatrice, je trouve l'inverse de ce que vous me dites avec une courbe Cf au dessus sur l'intervalle ]-inf;-2[ et en dessous sur l'intervalle ]-2;+inf[.
Est-ce que cela n'a rien a voir avec ou est-ce une erreur de ma part ?

De plus, je souhaiterais revenir sur la question 5c où j'avais écrit :
c. Etudier la convexité de f
Si l'on se base sur les résultat du tableau précédent, f est concave de moins l'infini à environ -2 avant d'être convexe jusqu'à plus l'infini.
Seulement je ne suis pas sûre d'un tel résultat car il ne coïncide pas avec le résultat de la correction donnée.


En effet, celle-ci m'indique que f est concave sur ]-inf;0] car la dérivée seconde est négative et qu'elle est convexe sur [0;+inf[ car la dérivée seconde est positive.
Seulement je ne comprends pas d'où vient ce 0, d'autant plus que cette réponse serait fausse vu que c'est au point d’inflexion (-2;-2) que la courbe passe de concave à convexe.

Merci pour votre temps et votre aide.
Maeva
 

Re: Convexité d'une fonction

Messagepar sos-math(21) le Lun 11 Nov 2019 11:17

Bonjour,
pour la convexité, tu as raison, si on a une fonction définie par \(f(x)=x^3+6x^2+9x+1\), alors \(f"(x)=6x+12\) qui s'annule bien en -2 et est négative avant puis positive après.
Donc la fonction est concave sur \(]-\infty\,;\,-2]\) et est convexe sur \([-2\,;\,+\infty[\), le point d'abscisse -2 étant un point d'inflexion.
Que te dit ton corrigé ? Quelle fonction prend-il ?
Bonne continuation
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Re: Convexité d'une fonction

Messagepar Maeva le Lun 11 Nov 2019 11:32

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Comme je vous l'expliquais précédemment, mon corrigé prend la même fonction, soit f(x), seulement ses intervalles sont différent car, pour lui, le -2 que nous trouvons est un 0.

Merci pour votre temps et votre aide.
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Maeva
 

Re: Convexité d'une fonction

Messagepar sos-math(21) le Lun 11 Nov 2019 11:48

Bonjour,
si la fonction en jeu est bien celle que tu indiques, alors il y a une erreur dans le corrigé.
Bonne continuation
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