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exercise suite, recurrence

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exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Lun 9 Sep 2019 19:45

Bonjour, j'ai un exercice de maths que j'ai du mal a finir et comprendre donc j'aimerais votre aide.

On considère la suite de nombres réels (Un) définie par :

Uo= -1 et U1= 1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)

1) Calculer U2 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2) On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier n :

Vn= Un+1-1/2(Un)
(a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
(b) Exprimer Vn en fonction de n.

3)On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n :

Wn= (Un/Vn)
(a) Exprimer Wn+1 en fontion de Un et Vn.
(b) En déduire que pour tout n de N, Wn+1 = Wn+2.
(c) Exprimer Wn en fonction de n.

4)Démontrer que pour tout entier naturel n,

Un= (2n-1)/2puissance n.


Voici mes réponses:

1) j'ai trouver Un=3/4
pour vérifier si la suite est arithmétique:
U1-U0= 3/2
U2-U1=1/4
comme U1-U0est différent de U2-U1 la suite n'est pas arithmétique.
pour vérifier si la suite est géométrique:
U1/U0=-1/2
U2/U1=3/2
comme U1/U0 est différent de U2-U1, la suite n'est pas géométrique.

2)
(a)on cherche d'abord le premier terme qui est V0
donc V0=U1 -1/2U0
V0=1

puis on fait: Vn+1= Un+2 - 1/2Un+1
= (Un+1 - 1/4 Un) -1/2 (Un+1)
= 1/2 Un+1 - 1/4 Un
= 1/2 ( Un+1 - 1/2 Un)
= 1/2 Vn
la suite est géométrique de raison q=1/2 de 1er terme V0=1.

(b) Vn=V0 x q puissance n
= 1 x 1/2 puissance n

3)
(a) Wn+1= Un+1/ Vn+1
après ca je bloque un peu pour la suite du (a) et d (b) et (c)
4) je n'y arrive pas. Dois-je utiliser la recurrence?

merci de votre aide, bonne soirée.
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar sos-math(27) le Lun 9 Sep 2019 20:03

bonsoir Amandine,

Ton travail est correct pour la question 1 et la question 2, pour la suite je ne pense pas qu'une récurrence soit nécessaire.

Il faut écrire bien entendu que \(w_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\)
et utiliser les expressions précédentes pour trouver une expression avec \(u_n\) et\(v_n\).

Ensuite, il faut te souvenir d'une règle de calcul avec les fractions : \(\frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}\)
tu verras alors apparaître une simplification et tu retrouvera ce qu'il faut, c'est à dire \(2+w_n\)
Tu peux alors en déduire la nature de la suite \(w_n\) et son expression en fonction de \(n\).

Je te laisse continuer, en espérant t'avoir aidée
sos-math(27)
 
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Re: exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Lun 9 Sep 2019 21:01

je trouve alors :
Wn+1= Vn +1/2(Un) /1/2Vn
soit Wn+1= 2+Un/Vn
Wn+1= 2+Wn
la suite est donc geometrique de raison 2
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar sos-math(27) le Lun 9 Sep 2019 21:15

Ok pour le calcul mais ta conclusion est fausse, la suite n'est pas géométrique.

(tu n'es pas loin de la bonne réponse, consulte ton cours)

à bientôt
sos-math(27)
 
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Re: exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Lun 9 Sep 2019 21:50

oui, c'est vrai la suite est arithmétique de raison 2.
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 10 Sep 2019 13:24

Tout à fait. A partir de cette conclusion, tu peux exprimer Wn en fonction de n relativement simplement
Bonne suite de recherche.
SoS-Math(34)
 
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Re: exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Mar 10 Sep 2019 18:17

bonjour, alors je calcule W0
qui donne W0= U0/V0
= -1/1=-1

on sais que la suite est arithmétique donc pour exprimer Wn en fonction de n : Wn=W0+nr
soit Wn= -1 + nx2
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 10 Sep 2019 18:34

Bonsoir, oui c'est cela. Continue dans cette voie.
SoS-Math(34)
 
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Re: exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Mar 10 Sep 2019 18:47

merci de votre aide, pour la question 4, comment dois-je m'y prendre ?
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar SoS-Math(9) le Mar 10 Sep 2019 20:17

Bonsoir Amandine,

tu sais que :
Vn= 1 x 1/2 puissance n
Wn= -1 + nx2
et Wn= (Un/Vn)

Avec cela tu dois pouvoir trouver l'expression de Un en fonction de n.

SoSMath.
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Re: exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Mar 10 Sep 2019 20:31

j'isole Un donc
Un= Wn/Vn
Un= 2n-1/ 1x 1/2n
Un= 2n-1 / 2n
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar sos-math(21) le Mar 10 Sep 2019 21:02

Bonsoir,
je prends le sujet en cours de route mais si tu as \(w_n=\dfrac{u_n}{v_n}\) alors c'est comme si tu avais \(\dfrac{w_n}{1}=\dfrac{u_n}{v_n}\) donc en faisant les produits en croix :
\(u_n\times 1=w_n\times v_n\) donc \(u_n=w_n\times v_n=(2n-1)\times \dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2n-1}{2^n}\).
Bonne continuation
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Re: exercise suite, recurrence

Messagepar amandine le Mer 11 Sep 2019 18:38

bonsoir,
mais Vn est de la forme Vn=(1/2) puissance n
donc je me retrouve avec: Un = (2n-1)x (1/2)puissance n
amandine
 

Re: exercise suite, recurrence

Messagepar SoS-Math(31) le Mer 11 Sep 2019 19:44

Bonjour Amandine,
Je prends moi aussi le sujet en cours de discution mais si w\(_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}\) et que tu as trouvé \(w_{n} = - 1 + 2n\) alors \(u_{n} = (-1+2n) v_{n}\) = (-1 + 2n) \((\frac{1}{2})^{n}=(-1+2n) \frac{1}{2^{n}}\)

Ensuite A\(\frac{1}{B}\) =\(\frac{A}{B}\) donc (-1+2n) \(\frac{1}{(2)^{n}} = \frac{-1+2n}{2^{n}}\)
SoS-Math(31)
 
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