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Démonstration par l'absurde

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Démonstration par l'absurde

Messagepar Math le Jeu 31 Oct 2019 15:03

Bonjour, pouvez vous m'aidez à commencer mon exercice svp.
On veut démonter que en raisonnant par l'absurde que racine carré de 3 est un nombre irrationnel. On suppose que racine carré de 3 est un nombre rationnel, c'est à dire qu'il s'écrit racine carré de 3=p/q avec p et q nombre entiers premiers entre eux et q non nul. Montrer que p2=3q2
Math
 

Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar SoS-Math(33) le Jeu 31 Oct 2019 15:12

Bonjour Math,
tu as \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) si tu élève au carré de chaque côté tu obtiens : \(3 = (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2}\)
et donc \(p^2=3q^2\)
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Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar Math le Jeu 31 Oct 2019 15:15

Merci beaucoup
Math
 

Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar Math le Jeu 31 Oct 2019 15:55

Merci beaucoup. Je suis désolé de vous ennuyer mais je coi ce sur la suite.
On veut montrer à présent que si 3 est un diviseur de p2 alors il est aussi diviseur de p. Pour cela on raisonne par l'absurde. On suppose que 3 n'est pas un diviseur de p. Montrer que le nombre p peut s'écrire soit sous la forme 3k+1, soit 3k+2, avec k un nombre entier.
Merci d'avance
Math
 

Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar SoS-Math(33) le Jeu 31 Oct 2019 16:50

Bonjour,
si p n'est pas un multiple de 3 il s'écrit obligatoirement sous la forme 3k+1 ou 3k+2 avec k entier
En élevant au carré tu dois montrer que ni (3k+1)² ni (3k+2)² n'est un multiple de 3 ce qui est en contradiction avec ton hypothèse de départ.
SoS-Math(33)
 
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Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar Math le Ven 1 Nov 2019 16:49

Bonjour,
Merci de bien vouloir me donner votre avis sur mon raisonnement. Si p n'est pas un diviseur de 3
alors les multiples de 3 ne sont pas non plus. Si p=3k+1 ou p=3k+2 avec k un nombre entier. Si on considère l'hypothèse de départ de Point P2 = 3Q2 alors p2=(3k+1)2=3k2+1 2 = 9k2+1
Math
 

Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar SoS-Math(9) le Ven 1 Nov 2019 19:18

Bonsoir Math,

je ne comprends pas ce que tu veux dire par " Si p n'est pas un diviseur de 3, alors les multiples de 3 ne sont pas non plus"

Ici on suppose que 3 n'est pas un diviseur de p (et non p n'est pas un diviseur de 3).
On a donc 2 cas : p =3k+1 ou 3k+2.

1er cas : p =3k+1
alors p² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k) +1
donc p² n'est pas divisible par 3
ce qui contredit l'hypothèse que 3 divise p² (car p²=3q²).
Donc le cas 1 ne marche pas.

A toi d'étudier le cas 2.

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Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar Math le Sam 2 Nov 2019 11:28

Bonjour je n'arrive pas à comprendre pourquoi il y a 6K
Math
 

Re: Démonstration par l'absurde

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 2 Nov 2019 11:59

Bonjour Math,

Il y a une formule pour développer (a+b)² :
(a+b)² = a² + 2ab + b².

d'où : (3k+1)² = (3k)² + 2*3k*1 + 1² = 9k²+6k+1.

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