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√2 n'est pas un nombre rationnel

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√2 n'est pas un nombre rationnel

Messagepar Sarah le Lun 28 Oct 2019 12:16

Bonjour,
Je ne sais pas si ma réponse à la question 2,
Merci d'avance pour vos réponses.

On suppose que √2 est un quotient de deux entiers relatifs p et q. Il peut donc s'écrire sous la forme √2 = p/q où p/q est un quotient irréductible.

1. Démonter que 2q² = p² et en déduire que p² est pair.
On suppose que √2 ∈ ℚ donc il peut s'écrire avec p et q, deux entiers relatifs.
On a √2 = p/q donc (√2)² = (p/q)², 2 = p²/q²
d'où (√2*q)² = p²
(√2)²*q² = p²
alors 2q² = p²
De plus, p² est un nombre pair car il peut s'écrire sous la forme 2*q².

2. Démontrer que p est pair.
Soit p un entier pair,
comme p est pair, il existe un entier k tel que p=2*k
d'où p² = (2k)² = 2k*2k = 4k² = 2(2k)² = 2*k1 avec k1 ∈ ℕ .
Or, on sait que p² = 2q² donc p est un entier pair.
(Je ne sais si c'est correct et s'il fallait que s'utilise la réciproque de la parité.)
Sarah
 

Re: √2 n'est pas un nombre rationnel

Messagepar SoS-Math(33) le Lun 28 Oct 2019 15:39

Pour démontrer que p est pair, il suffit de supposer que p est impair et de montrer que c'est incompatible avec p² pair.
p impair donc p = 2k+1
Je te laisse faire la justification
SoS-Math(33)
 
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